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eliminación gaussiana [Modificación ]
En el álgebra lineal, la eliminación gaussiana (también conocida como reducción de filas) es un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Por lo general, se entiende como una secuencia de operaciones realizadas en la matriz correspondiente de coeficientes. Este método también se puede usar para encontrar el rango de una matriz, calcular el determinante de una matriz y calcular el inverso de una matriz cuadrada invertible. El método lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss (1777-1855), aunque ya era conocido por los matemáticos chinos en el 179 CE (ver la sección de Historia).
Para realizar la reducción de fila en una matriz, se usa una secuencia de operaciones de fila elementales para modificar la matriz hasta que la esquina inferior izquierda de la matriz se llena con ceros, tanto como sea posible. Hay tres tipos de operaciones de filas elementales: 1) Intercalar dos filas, 2) Multiplicar una fila por un número distinto de cero, 3) Agregar un múltiplo de una fila a otra fila. Usando estas operaciones, una matriz siempre se puede transformar en una matriz triangular superior, y de hecho una que está en forma escalonada escalonada. Una vez que todos los coeficientes principales (la entrada que no es cero más a la izquierda en cada fila) son 1, y cada columna que contiene un coeficiente principal tiene ceros en otro lugar, se dice que la matriz tiene una forma de escalón de fila reducida. Esta forma final es única; en otras palabras, es independiente de la secuencia de operaciones de filas utilizada. Por ejemplo, en la siguiente secuencia de operaciones de filas (donde se pueden realizar múltiples operaciones elementales en cada paso), las matrices tercera y cuarta son las que están en forma escalonada escalonada, y la matriz final es la única forma de escala escalonada reducida.
\ left [{array} {rrr | r} 1 & 3 & 1 & 9 \ 1 & 1 & -1 & 1 \ 3 & 11 & 5 & 35 \ end {array}} \ right] \ to \ left [{array} {rrr | r } 1 & 3 & 1 & 9 \ 0 & -2 & -2 & -8 \ 0 & 2 & 2 & 8 \ end {array}} \ right] \ to \ left [{array} {rrr | r} 1 & 3 & 1 & 9 \ 0 & -2 & -2 & -8 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right] \ to \ left [{array} {rrr | r} 1 & 0 & -2 & -3 \ 0 & 1 & 1 & 4 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right]}
  


El uso de operaciones de filas para convertir una matriz en una forma de escala escalonada reducida a veces se denomina eliminación de Gauss-Jordan. Algunos autores usan el término eliminación gaussiana para referirse al proceso hasta que haya alcanzado su forma triangular superior o escalonada (no reducida). Por razones de computación, cuando se resuelven sistemas de ecuaciones lineales, a veces es preferible detener las operaciones de filas antes de que la matriz se reduzca por completo.
[Algoritmo][Sistema de ecuaciones lineales][Matriz: matemáticas]
1.Definiciones y ejemplo de algoritmo
1.1.Operaciones de fila
1.2.Forma escalonada
1.3.Ejemplo del algoritmo
2.Historia
3.Aplicaciones
3.1.Determinantes computacionales
3.2.Encontrar el inverso de una matriz
3.3.Rangos y bases de computación
4.Eficiencia computacional
4.1.Generalizaciones
5.Pseudocódigo
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