6.Vectores como derivados direccionales [Modificación ]
Un vector también se puede definir como una derivada direccional: considere una función
f (x ^ una curva
x ^ (\ tau)}
. Entonces la derivada direccional de
f}
es un escalar definido como
{df} {d \ tau}} = \ sum _ = 1} ^ {n} {dx ^ {d \ tau}} { \ partial f} x ^ el índice
\ alpha}
se suma sobre el número apropiado de dimensiones (por ejemplo, de 1 a 3 en el espacio euclidiano tridimensional, de 0 a 3 en el espacio-tiempo 4-dimensional, etc.). Entonces considere una tangente vectorial a
x ^ (\ tau)}
:
t ^ = {dx ^ {d \ tau}}.}
La derivada direccional se puede reescribir en forma diferencial (sin una función dada
f}
) como
{d} {d \ tau}} = \ sum _ t ^ x ^ lo tanto, cualquier derivada direccional puede identificarse con un vector correspondiente, y cualquier vector puede identificarse con una derivada direccional correspondiente. Un vector, por lo tanto, se puede definir con precisión como \ mathbf {a} \ equiv a ^ x ^ {\ alpha}}}.}