संभाव्यता सिद्धांत और संबंधित क्षेत्रों में, एक स्टोकास्टिक या यादृच्छिक प्रक्रिया एक गणितीय वस्तु है जिसे आम तौर पर यादृच्छिक चर के संग्रह के रूप में परिभाषित किया जाता है। ऐतिहासिक रूप से, यादृच्छिक चर संख्याओं के एक सेट द्वारा अनुक्रमित या अनुक्रमित होते थे, आमतौर पर समय के रूप में देखा जाता है, जो कुछ समय के साथ यादृच्छिक रूप से बदलते समय एक प्रणाली के संख्यात्मक मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते हुए एक स्टोकास्टिक प्रक्रिया की व्याख्या देते हैं, जैसे जीवाणु आबादी के विकास, एक विद्युत प्रवाह थर्मल शोर, या एक गैस अणु के आंदोलन के कारण उतार-चढ़ाव। स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं का व्यापक रूप से सिस्टम और घटनाओं के गणितीय मॉडल के रूप में उपयोग किया जाता है जो एक यादृच्छिक तरीके से भिन्न होते हैं। उनके पास जीवविज्ञान, रसायन शास्त्र, पारिस्थितिकी, तंत्रिका विज्ञान, और भौतिकी जैसे विज्ञान और प्रौद्योगिकी प्रसंस्करण, सिग्नल प्रोसेसिंग, सूचना सिद्धांत, कंप्यूटर विज्ञान, क्रिप्टोग्राफी और दूरसंचार जैसे विज्ञान सहित कई विषयों में अनुप्रयोग हैं। इसके अलावा, वित्तीय बाजारों में प्रतीत होता है कि यादृच्छिक परिवर्तन वित्त में स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के व्यापक उपयोग को प्रेरित करते हैं। अनुप्रयोगों और घटनाओं के अध्ययन ने बदले में नई स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के प्रस्ताव को प्रेरित किया है। ऐसी स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के उदाहरणों में वीज़र प्रक्रिया या ब्राउनियन गति प्रक्रिया शामिल है, जो पेरिस बोर्स पर मूल्य परिवर्तनों का अध्ययन करने के लिए लुई बैचलियर द्वारा उपयोग की जाती है, और एक निश्चित अवधि में होने वाली फोन कॉल की संख्या का अध्ययन करने के लिए एके एरलांग द्वारा उपयोग की जाने वाली पोइसन प्रक्रिया । इन दो स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं को स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण और केंद्रीय माना जाता है, और विभिन्न सेटिंग्स और देशों में बैचलियर और एर्लांग के पहले और बाद में, बार-बार और स्वतंत्र रूप से खोजे गए थे। यादृच्छिक फ़ंक्शन शब्द का उपयोग स्टोकैस्टिक या यादृच्छिक प्रक्रिया के संदर्भ में भी किया जाता है, क्योंकि एक स्टोकास्टिक प्रक्रिया को फ़ंक्शन स्पेस में यादृच्छिक तत्व के रूप में भी व्याख्या किया जा सकता है। शब्द स्टोकास्टिक प्रक्रिया और यादृच्छिक प्रक्रिया का उपयोग एक दूसरे के लिए किया जाता है, अक्सर सेट के लिए कोई विशिष्ट गणितीय स्थान नहीं है जो यादृच्छिक चर को अनुक्रमणित करता है। लेकिन अक्सर इन दो शब्दों का उपयोग तब किया जाता है जब यादृच्छिक चर पूर्णांक या वास्तविक रेखा के अंतराल द्वारा अनुक्रमित होते हैं। यदि यादृच्छिक चर को कार्टेशियन विमान या कुछ उच्च-आयामी यूक्लिडियन स्थान द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, तो यादृच्छिक चर के संग्रह को आमतौर पर इसके बजाय एक यादृच्छिक फ़ील्ड कहा जाता है। एक स्टोकास्टिक प्रक्रिया के मूल्य हमेशा संख्या नहीं होते हैं और वेक्टर या अन्य गणितीय वस्तुएं हो सकती हैं। उनकी गुणों के आधार पर, स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं को विभिन्न श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें यादृच्छिक चलने, मार्टिंगलेस, मार्कोव प्रक्रियाएं, लेवी प्रक्रियाएं, गाऊसी प्रक्रियाएं, और यादृच्छिक फ़ील्ड, नवीनीकरण प्रक्रियाएं और शाखा प्रक्रियाएं शामिल हैं। स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं का अध्ययन गणितीय ज्ञान और तकनीकों का उपयोग संभाव्यता, गणित, रैखिक बीजगणित, सेट सिद्धांत, और टोपोलॉजी के साथ-साथ गणितीय विश्लेषण की शाखाओं जैसे वास्तविक विश्लेषण, माप सिद्धांत, फूरियर विश्लेषण और कार्यात्मक विश्लेषण से करता है। स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं का सिद्धांत गणित में एक महत्वपूर्ण योगदान माना जाता है और यह सैद्धांतिक कारणों और अनुप्रयोगों दोनों के लिए शोध का एक सक्रिय विषय है। [सिद्धांत संभावना][जीवविज्ञान][रसायन विज्ञान][परिस्थितिकी][तंत्रिका विज्ञान][अभियांत्रिकी][कंप्यूटर विज्ञान][रेखीय बीजगणित][असली विश्लेषण][उपाय: गणित] |