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determinante [Modifica ]
Nell'algebra lineare, il determinante è un valore utile che può essere calcolato dagli elementi di una matrice quadrata. Il determinante di una matrice A è denotato det (A), det A o | A |. Può essere visto come il fattore di scala della trasformazione descritta dalla matrice.
Nel caso di una matrice 2 × 2 la formula specifica per il determinante è:


  {aligned} | A | = {vmatrix} a & b \ c & d \ end {vmatrix}} = ad-bc. \ end {align}}}
  


Allo stesso modo, supponiamo di avere una matrice 3 × 3 A e vogliamo la formula specifica per il suo determinante | A |:




  {aligned} | A | = {vmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \ end {vmatrix}} & = a \, {vmatrix} e & f \ h & i \ end { vmatrix}} - b \, {vmatrix} d & f \ g & i \ end {vmatrix}} c \, {vmatrix} d & e \ g & h \ end {vmatrix}} \ & = aei bfg cdh- CEG-BDI-AFH. \ end {allineata}}}
  




Ogni determinante di una matrice 2 × 2 in questa equazione è chiamato "minore" della matrice A. Lo stesso tipo di procedura può essere utilizzata per trovare il determinante di una matrice 4 × 4, il determinante di una matrice 5 × 5, e così via.
I determinanti si verificano in tutta la matematica. Ad esempio, una matrice viene spesso utilizzata per rappresentare i coefficienti in un sistema di equazioni lineari e il determinante può essere utilizzato per risolvere tali equazioni, sebbene siano effettivamente utilizzate tecniche più efficienti, alcune delle quali sono determinanti-rivelatrici e consistono in efficaci computazionalmente modi di calcolare il determinante stesso. L'uso di determinanti nel calcolo include il determinante di Jacobian nella regola del cambiamento delle variabili per gli integrali di funzioni di più variabili. I determinanti sono anche usati per definire il polinomio caratteristico di una matrice, che è essenziale per i problemi agli autovalori nell'algebra lineare. Nella geometria analitica, i determinanti esprimono i volumi nidimensionali firmati di parallelepipedi n-dimensionali. A volte, i determinanti vengono usati semplicemente come una notazione compatta per espressioni che altrimenti sarebbero ingombranti da scrivere.
Quando le voci della matrice vengono prese da un campo (come i numeri reali o complessi), può essere provato che qualsiasi matrice ha un inverso unico se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Vari altri teoremi possono essere provati pure, incluso che il determinante di un prodotto di matrici è sempre uguale al prodotto di determinanti; e il determinante di una matrice Hermitiana è sempre reale.
[Fattore di rischio][Algebra lineare][Sistema di equazioni lineari]
1.Definizione
1.1.Matrici 2 × 2
1.2.Matrici 3 × 3
1.3.n × n matrici
1.3.1.Simbolo Levi-Civita
2.Proprietà del determinante
2.1.Moltiplicazione e gruppi di matrici
2.2.La formula di Laplace e la matrice adiacente
2.3.Il teorema determinante di Sylvester
3.Proprietà del determinante in relazione ad altre nozioni
3.1.Relazione con autovalori e traccia
3.2.Limiti superiore e inferiore
3.3.La regola di Cramer
3.4.Matrici di blocchi
3.5.Derivato
4.Aspetti algebrici astratti
4.1.Determinante di un endomorfismo
4.2.Algebra esterna
4.2.1.Trasformazione su forme alternate multilineari
4.3.Matrici quadrate su anelli commutativi e proprietà astratte
5.Generalizzazioni e nozioni correlate
5.1.Matrici infinite
5.2.Nozioni correlate per anelli non commutativi
5.3.Altre varianti
6.Calcolo
6.1.Metodi di decomposizione
6.2.Ulteriori metodi
7.Storia
8.applicazioni
8.1.Indipendenza lineare
8.2.Orientamento di una base
8.3.Volume e determinante di Jacobian
8.4.Vandermonde determinant (alternant)
8.5.Circulants
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