In integral calculus, eliptisks integrals sākotnēji radās saistībā ar problēmu, dodot elipses loka garumu. Tos vispirms izpētīja Giulio Fagnano un Leonhard Euler (1750. g.). Mūsdienu matemātika definē "elipsveida integrāli" kā jebkuru funkciju f, kuru var izteikt formā
f (x) = \ int _ (c) ^ (x) R \ left (t, (P (t)}} \ right) \, dt,
kur R ir abu argumentu racionāla funkcija, P ir 3. vai 4. pakāpes polinoms bez atkārtotām saknēm, un c ir konstante. Parasti integrāļus šajā formā nevar izteikt elementāru funkciju izteiksmē. Izņēmumi no šī vispārējā noteikuma ir tad, kad P ir atkārtoti sakņojas vai kad R (x, y) nav neviena jauda y. Tomēr ar atbilstošu samazinājuma formulu, katru elipsveida integrāli var pārvērst formā, kas ietver integrālus virs racionālām funkcijām un trim leģendra kanoniskām formām (t.i., pirmā, otrā un trešā veida eliptiskos integrāļus). Turpmāk zem leģendra formas elipsveida integrālus var izteikt arī Carlson simetriskā formā. Papildu izpratni par eliptiskas integrāles teoriju var iegūt, pētot Schwarz-Christoffel kartēšanu. Vēsturiski eliptiskas funkcijas tika atklātas kā elipsveida integrāļu apgrieztās funkcijas.
|