มีสองวิธีที่เทียบเท่ากันทั่วไปเกี่ยวกับการเรียงสับเปลี่ยนบางครั้งเรียกว่ารูปแบบที่ใช้งานและแบบพาสซีฟหรือในการแทนที่คำศัพท์ที่เก่ากว่าและการเรียงสับเปลี่ยน แบบฟอร์มใดที่เหมาะกว่านั้นขึ้นอยู่กับประเภทของคำถามที่ถูกถามในสาขาวิชาหนึ่ง ๆ วิธีที่ใช้งานเกี่ยวกับการเรียงสับเปลี่ยนของเซต S (finite หรือ infinite) คือการกำหนดให้เป็น bijections จาก S ไปเอง ดังนั้นพีชคณิตที่คิดว่าเป็นหน้าที่ที่สามารถประกอบขึ้นด้วยกันสร้างกลุ่มของพีชคณิต จากมุมมองนี้องค์ประกอบของ S ไม่มีโครงสร้างภายในและเป็นเพียงป้ายกำกับสำหรับวัตถุที่ถูกย้าย: หนึ่งอาจหมายถึงพีชคณิตของชุดขององค์ประกอบ n เป็น "การเรียงสับเปลี่ยนกับตัวอักษร n" ในสัญกรณ์สองบรรทัดของ Cauchy จะแสดงองค์ประกอบของ S ในแถวแรกและสำหรับแต่ละภาพด้านล่างจะอยู่ในแถวที่สอง ยกตัวอย่างเช่นการเปลี่ยนแปลงของชุด S = {1,2,3,4,5} สามารถเขียนเป็น:
\ sigma = {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \ 2 & 5 & 4 & 3 & 1 \ end {pmatrix}};}
(4) = 3, และσ (5) = 1 องค์ประกอบของ S อาจปรากฏในลำดับใด ๆ ในแถวแรก การเปลี่ยนแปลงนี้ยังสามารถเขียนเป็น:
\ sigma = {pmatrix} 3 & 2 & 5 & 1 & 4 \ 4 & 5 & 1 & 2 & 3 \ end {pmatrix}}}
วิธี passive เพื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของชุด S คือการเรียงลำดับ (หรือรายการหรือการจัดลำดับที่เรียงตามลำดับหรือลำดับโดยไม่มีการทำซ้ำ) ขององค์ประกอบของ S. ซึ่งเกี่ยวข้องกับรูปแบบที่ใช้งานดังนี้ ถ้ามีคำสั่ง "ธรรมชาติ" สำหรับองค์ประกอบของ S ให้พูด x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}} , แล้วหนึ่งใช้นี้สำหรับแถวแรกของสัญกรณ์สองบรรทัด: \ sigma = {pmatrix} x_ {1} & x_ {2} & x_ {3} และ \ cdots & x_ {n} \ sigma (x_ {1}) & \ sigma (x_ {2}) & \ sigma (x_ {3}) & \ cdots & \ sigma (x_ {n}) \ end {pmatrix}}}
ภายใต้สมมติฐานนี้หนึ่งอาจละเว้นแถวแรกและเขียนการเปลี่ยนแปลงในสัญกรณ์หนึ่งบรรทัดเป็น \ sigma (x_ {1}) \; \ sigma (x_ {2}) \; \ sigma (x_ {3}) \; \ cdots \; \ sigma (x_ {n})} นั่นคือต้องมีการจัดเรียงลำดับของ S. Care เพื่อแยกความแตกต่างของสัญกรณ์หนึ่งบรรทัดจากสัญกรณ์วงจรที่อธิบายไว้ในภายหลัง ในวรรณคดีคณิตศาสตร์การใช้งานทั่วไปคือการเว้นวรรควงเล็บสำหรับสัญกรณ์หนึ่งบรรทัดในขณะที่ใช้โน้ตวงจร สัญกรณ์หนึ่งบรรทัดหรือที่เรียกว่าการแทนคำของการเปลี่ยนแปลง ตัวอย่างข้างต้นจะเป็น 2 5 4 3 1 เนื่องจากลำดับธรรมชาติ 1 2 3 4 5 จะถือว่าเป็นแถวแรก (โดยทั่วไปจะใช้เครื่องหมายจุลภาคเพื่อแยกรายการเหล่านี้เฉพาะบางแห่งเท่านั้นถ้ามีตัวเลขตั้งแต่สองตัวขึ้นไป) รูปแบบนี้มีขนาดกะทัดรัดมากขึ้นและเป็นเรื่องธรรมดาในการรวมองค์ประกอบพื้นฐานและวิทยาการคอมพิวเตอร์ มันมีประโยชน์อย่างยิ่งในการใช้งานที่องค์ประกอบของ S หรือพีชคณิตจะถูกเปรียบเทียบเป็นขนาดใหญ่หรือเล็กกว่า [combinatorics] |